कर्ण कैलकुलेटर (पाइथागोरस प्रमेय)
लेखक: Thierno Sadou Diallo — कार्यप्रणाली • अंतिम सत्यापन: 11/10/2026
पाइथागोरस प्रमेय समकोण त्रिभुज का कर्ण सूत्र √(a² + b²) से देता है, जहाँ a और b दो भुजाएँ हैं जो समकोण बनाती हैं। 3-4 के त्रिभुज के लिए, कर्ण ठीक 5 होता है।
स्पष्टीकरण
समकोण त्रिभुज में, कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है, जो समकोण के सामने स्थित होती है। पाइथागोरस प्रमेय बताता है कि कर्ण का वर्ग दोनों अन्य भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है (a² + b² = c²); इसलिए इसकी लंबाई पाने के लिए केवल इस योग का वर्गमूल लेना होता है। यह परिणाम केवल वास्तव में समकोण त्रिभुज के लिए सही है, यानी जिसमें 90° का कोण हो। नीचे दिए गए उदाहरण का "3-4-5" त्रिभुज एक प्रसिद्ध विशेष मामला है: इसकी तीनों भुजाएँ पूर्ण संख्याएँ हैं, जिससे यह किसी निर्माण स्थल या नक्शे पर समकोण की जाँच के लिए एक व्यावहारिक संदर्भ बन जाता है। यह कैलकुलेटर अन्य दो भुजाओं से कर्ण निकालता है; इस संबंध के व्यावहारिक उपयोग के लिए, जैसे छत पर समकोण अंकित करना, हमारा छत का ढलान कैलकुलेटर भी देखें। किसी अन्य शास्त्रीय ज्यामितीय स्थिरांक के लिए, हमारा स्वर्ण अनुपात कैलकुलेटर देखें।
उदाहरण: 3 सेमी और 4 सेमी की भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज
इनपुट डेटा
पहली भुजा: 3 सेमी। दूसरी भुजा: 4 सेमी।
गणना
हर भुजा का वर्ग निकालकर जोड़ा जाता है: 3² + 4² = 9 + 16 = 25। फिर इस योग का वर्गमूल लिया जाता है: √25 = 5।
परिणाम
इस समकोण त्रिभुज का कर्ण 5 सेमी है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह सूत्र उस त्रिभुज के लिए काम करता है जो समकोण नहीं है?
नहीं, पाइथागोरस प्रमेय केवल समकोण त्रिभुजों पर लागू होता है, यानी जिनमें 90° का कोण हो। किसी सामान्य त्रिभुज के लिए, भुजाओं के बीच संबंध अलग होता है (कोसाइन का नियम)।
अगर कर्ण पता हो तो एक भुजा कैसे निकालें?
इस स्थिति में जोड़ने के बजाय घटाना होगा: लुप्त भुजा √(कर्ण² − दूसरी भुजा²) के बराबर होती है। यह कैलकुलेटर सबसे सामान्य उपयोग (अन्य दो भुजाओं से कर्ण निकालना) के लिए बनाया गया है और इस उल्टी दिशा को शामिल नहीं करता।
3-4-5 त्रिभुज इतना सामान्य उदाहरण क्यों है?
क्योंकि यह पूर्ण संख्याओं का सबसे छोटा समूह है जो पाइथागोरस प्रमेय (3² + 4² = 5²) को ठीक-ठीक संतुष्ट करता है। कारीगर प्राचीन समय से इसका उपयोग 12 गांठों वाली एक साधारण रस्सी से समकोण बनाने के लिए करते रहे हैं, बिना किसी कोण-मापक यंत्र के।
क्या दोनों भुजाओं की इकाइयाँ एक जैसी होनी चाहिए?
हाँ, परिणाम सही होने के लिए दोनों भुजाओं को एक ही इकाई में व्यक्त किया जाना चाहिए (उदाहरण के लिए दोनों सेमी में)। आवश्यकता होने पर पहले इकाई बदल लें।