Calculateur de loi log-normale
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 24/08/2026
La densité de probabilité de la loi log-normale se calcule avec f(x) = 1/(x×σ×√(2π)) × exp(−(ln(x)−μ)²/(2σ²)), définie uniquement pour x > 0. Pour les paramètres standards μ=0 et σ=1, la densité en x=1 vaut exactement 1/√(2π) ≈ 0,3989, la même valeur que la densité de la loi normale standard en 0.
Explication
La loi log-normale décrit une variable aléatoire X dont le logarithme népérien, ln(X), suit une loi normale classique de paramètres μ et σ. Elle apparaît naturellement partout où un phénomène résulte de la MULTIPLICATION de nombreux facteurs indépendants plutôt que de leur addition — par exemple la croissance composée d'un revenu ou d'un cours boursier, la taille de particules issues d'un broyage successif, ou certaines durées de survie en biologie — alors que la loi normale classique modélise plutôt des phénomènes où de nombreuses influences s'ADDITIONNENT (comme des erreurs de mesure indépendantes qui se compensent en moyenne), la même distribution symétrique que celle utilisée par notre calculateur de percentile de la loi normale. Elle se distingue aussi de la loi exponentielle, qui modélise elle aussi une grandeur strictement positive (un temps d'attente) mais avec une décroissance constante plutôt qu'un pic asymétrique. Une conséquence directe de cette origine multiplicative est que la loi log-normale est asymétrique (contrairement à la courbe en cloche symétrique de la loi normale) : elle possède une longue traîne vers les valeurs élevées, jamais de valeurs négatives ou nulles, ce qui en fait un bien meilleur modèle que la loi normale pour des grandeurs strictement positives par nature, comme un revenu ou un prix. Les paramètres μ et σ ne sont pas directement la moyenne et l'écart-type de X elle-même, une confusion fréquente : ce sont la moyenne et l'écart-type du LOGARITHME de X, ce qui explique pourquoi l'espérance réelle de X, exp(μ + σ²/2), est toujours supérieure à exp(μ) (qui serait la médiane de la distribution) — un écart d'autant plus marqué que σ est grand, à cause de l'asymétrie de la courbe. Cette distinction entre μ (paramètre du logarithme) et l'espérance réelle de X est le piège le plus courant lors de l'utilisation de cette loi, à la différence de la loi normale où les deux se confondent.
Exemple : loi log-normale standard (μ=0, σ=1)
Données d'entrée
Valeur x = 1. Paramètres μ = 0, σ = 1.
Calcul
f(1) = 1/(1×1×√(2π)) × exp(−(ln(1)−0)²/(2×1²)) = 1/√(2π) × exp(0) = 1/√(2π) ≈ 0,3989.
Résultat
La densité en x=1 vaut environ 0,3989. Pour ces mêmes paramètres, l’espérance de X vaut √e ≈ 1,6487 et sa variance vaut (e−1)×e ≈ 4,6708 — toutes deux supérieures à ce que suggérerait μ=0, à cause de l’asymétrie de la distribution.
Questions fréquentes
Pourquoi l’espérance de X n’est-elle pas simplement exp(μ) ?
Parce que la loi log-normale est asymétrique : sa longue traîne vers les valeurs élevées tire la moyenne vers le haut, au-delà de exp(μ), qui correspond en réalité à la MÉDIANE de la distribution (la valeur qui la partage en deux moitiés égales), pas à sa moyenne. Le terme supplémentaire exp(σ²/2) dans la formule de l'espérance capture précisément cet effet d'asymétrie : plus σ est grand, plus l'écart entre médiane et moyenne se creuse.
Comment distinguer une loi normale d’une loi log-normale sur des données réelles ?
Un indice visuel simple : si l'histogramme des données est symétrique en cloche, la loi normale est probablement adaptée ; s'il est concentré vers les faibles valeurs avec une longue traîne vers les valeurs élevées (jamais de valeurs négatives), la loi log-normale est souvent un bien meilleur candidat. Une méthode plus rigoureuse consiste à appliquer le logarithme aux données et à vérifier si le résultat suit, lui, une distribution symétrique en cloche — si oui, les données d'origine suivent une loi log-normale par définition même de cette loi.
Cette formule fonctionne-t-elle pour x=0 ou x négatif ?
Non, la loi log-normale n'est définie que pour des valeurs strictement positives de x, puisqu'elle repose sur ln(x), qui n'existe pas pour x ≤ 0. C'est d'ailleurs l'une des raisons pour lesquelles cette loi est privilégiée face à la loi normale pour modéliser des grandeurs qui ne peuvent physiquement jamais être négatives, comme un prix, une masse ou une durée.