Calculateur du modèle Black-Scholes (option d’achat)
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 30/08/2026
Le modèle de Black-Scholes donne le prix théorique d'un call européen par C = S×N(d1) − K×e^(−rT)×N(d2). Pour l'exemple canonique S=K=100€, taux sans risque 5 %, volatilité 20 %, échéance 1 an, le prix théorique vaut environ 10,45 €, la valeur la plus citée dans les manuels de finance quantitative pour illustrer ce modèle.
Explication
Le modèle de Black-Scholes-Merton, publié en 1973 (et récompensé par le prix Nobel d'économie en 1997), a révolutionné la finance quantitative en donnant une formule fermée pour évaluer le prix théorique d'une option européenne — un contrat qui donne le droit, mais pas l'obligation, d'acheter une action à un prix fixé à l'avance (le prix d'exercice K), à une date d'échéance donnée. La formule combine cinq ingrédients : le prix actuel de l'action S, le prix d'exercice K, le taux sans risque r (souvent approché par le taux des obligations d'État), la volatilité σ (une mesure de l'ampleur des fluctuations attendues du prix de l'action) et le temps restant jusqu'à l'échéance T. Les termes N(d1) et N(d2) représentent des probabilités ajustées au risque, calculées à partir de la fonction de répartition de la loi normale — une fonction qui n'a pas d'expression algébrique simple, et que ce calculateur approxime avec une précision extrêmement fine (erreur inférieure à 10⁻⁷) grâce à une formule polynomiale classique de la littérature statistique. Ce modèle repose sur plusieurs hypothèses simplificatrices fortes : une volatilité constante et connue à l'avance, l'absence de coûts de transaction, la possibilité d'acheter et vendre en continu, et une distribution log-normale des rendements de l'action — des hypothèses qui s'écartent toujours plus ou moins de la réalité des marchés financiers, ce qui explique pourquoi le prix de marché réel d'une option diverge souvent légèrement du prix théorique calculé ici, notamment via le phénomène bien documenté du « sourire de volatilité ». Le taux sans risque r utilisé ici joue un rôle similaire à celui du calculateur de rendement à l'échéance d'une obligation déjà publié sur ce site, dont la valeur sert d'ailleurs couramment de référence pour ce même paramètre en pratique.
Exemple : option à la monnaie sur un an
Données d'entrée
Prix de l’action S = 100 €. Prix d’exercice K = 100 € (option « à la monnaie »). Taux sans risque r = 5 %. Volatilité σ = 20 %. Échéance T = 1 an.
Calcul
d1 = [ln(100/100) + (0,05+0,02)×1] ÷ (0,20×1) = 0,35. d2 = 0,35 − 0,20 = 0,15. N(0,35)≈0,6368, N(0,15)≈0,5596. C = 100×0,6368 − 100×e⁻⁰°⁰⁵×0,5596 ≈ 10,4506 €.
Résultat
Cette option d’achat vaut théoriquement environ 10,45 € — soit environ 10,45 % du prix de l’action elle-même, une prime qui reflète à la fois le temps restant jusqu’à l’échéance et l’incertitude (la volatilité) sur le prix futur de l’action.
Questions fréquentes
Pourquoi le prix d’une option augmente-t-il avec la volatilité de l’action sous-jacente ?
Plus une action est volatile, plus il existe de scénarios où son prix final dépasse largement le prix d'exercice, rendant l'option très profitable — et comme le détenteur d'une option d'achat ne perd jamais plus que la prime payée (contrairement à un actionnaire qui subit pleinement les baisses), une volatilité plus élevée n'augmente que le potentiel de gain sans augmenter le risque de perte au-delà de la prime initiale. C'est cette asymétrie fondamentale entre gain potentiel illimité et perte limitée qui explique pourquoi le prix d'une option croît systématiquement avec la volatilité — une prise de risque très différente de celle mesurée par le calculateur de ratio de Sharpe déjà publié sur ce site, qui évalue au contraire un rendement ajusté du risque pour un investissement classique, sans cette asymétrie propre aux options.
Ce modèle peut-il aussi calculer le prix d’une option de vente (put) ?
Ce calculateur se concentre sur l'option d'achat (call), mais le prix d'une option de vente (put) de mêmes caractéristiques se déduit directement grâce à la relation de parité call-put : P = C − S + K×e^(−rT). Cette relation, elle-même une conséquence d'un argument d'arbitrage indépendant du modèle Black-Scholes, permet de retrouver le prix du put à partir du prix du call déjà calculé ici, sans refaire tout le calcul depuis le début.
Pourquoi le prix de marché réel d’une option diffère-t-il souvent du prix théorique de Black-Scholes ?
L'hypothèse la plus fragile du modèle est celle d'une volatilité constante et identique pour toutes les échéances et tous les prix d'exercice, ce qui ne correspond pas à la réalité observée sur les marchés (le fameux « sourire de volatilité », où la volatilité implicite par le marché varie selon le prix d'exercice). En pratique, les traders utilisent souvent le modèle à l'envers : ils observent le prix de marché réel de l'option et en déduisent la volatilité implicite qui, réinjectée dans Black-Scholes, redonnerait ce prix — une volatilité qui devient alors elle-même une donnée de marché à part entière, plutôt qu'un simple paramètre d'entrée.