Calculateur de rayon circonscrit d’un triangle
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 19/08/2026
Le rayon du cercle circonscrit d'un triangle (le cercle unique qui passe par ses trois sommets) se calcule avec R = (a × b × c) ÷ (4 × Aire), l'aire étant obtenue par la formule de Héron. Pour un triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5, ce rayon vaut exactement 2,5 — la moitié de l'hypoténuse.
Explication
Le cercle circonscrit d'un triangle est le cercle unique qui passe exactement par ses trois sommets ; son rayon se calcule en combinant les trois longueurs de côtés avec l'aire du triangle, elle-même obtenue par notre calculateur d'aire de triangle (formule de Héron). Ce calculateur réutilise directement cette même formule de Héron en interne, avant d'appliquer R = (a×b×c) ÷ (4×Aire) pour obtenir le rayon circonscrit. Un cas particulier remarquable permet de vérifier cette formule de façon totalement indépendante : pour tout triangle rectangle, un théorème classique de géométrie (le théorème de l'angle inscrit, appliqué à un angle droit) établit que le rayon circonscrit vaut exactement la moitié de l'hypoténuse — ce que confirment nos deux cas de test sur les triangles rectangles 3-4-5 (R = 5÷2 = 2,5) et 5-12-13 (R = 13÷2 = 6,5), calculés ici par la formule générale mais qui redonnent exactement cette valeur connue indépendamment. Le rayon circonscrit intervient dans de nombreux contextes pratiques : en architecture et en design pour inscrire un triangle dans une forme circulaire donnée, ou en trigonométrie, où il apparaît directement dans une version généralisée de notre calculateur de la loi des sinus (a ÷ sin(A) = 2R, reliant chaque côté à l'angle opposé et au rayon circonscrit).
Exemple : triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5
Données d'entrée
Côtés : a = 3 m, b = 4 m, c = 5 m.
Calcul
s = (3+4+5) ÷ 2 = 6. Aire = √(6×3×2×1) = √36 = 6 m². R = (3×4×5) ÷ (4×6) = 60 ÷ 24 = 2,5 m.
Résultat
Le rayon du cercle circonscrit à ce triangle rectangle est de 2,5 m, exactement la moitié de son hypoténuse (5 m).
Questions fréquentes
Pourquoi le rayon circonscrit d’un triangle rectangle vaut-il toujours la moitié de l’hypoténuse ?
C'est une conséquence du théorème de l'angle inscrit : dans un cercle, un angle inscrit qui intercepte un diamètre vaut toujours exactement 90°. Réciproquement, si un triangle a un angle droit, son hypoténuse est nécessairement un diamètre du cercle circonscrit — et le rayon vaut donc la moitié de ce diamètre, c'est-à-dire la moitié de l'hypoténuse, quels que soient les deux autres côtés.
Quelle est la formule du rayon circonscrit pour un triangle équilatéral ?
Pour un triangle équilatéral de côté a, le rayon circonscrit se simplifie en R = a ÷ √3 (soit environ 0,577 × a), une formule directement issue du cas général appliqué à trois côtés égaux. Un triangle de côté 6, par exemple, a un rayon circonscrit d'environ 3,46, comme le confirme le troisième cas de test de ce calculateur.
Cette formule fonctionne-t-elle pour n’importe quel triangle ?
Oui, la formule R = (a×b×c) ÷ (4×Aire) est valable pour tout triangle valide, qu'il soit rectangle, isocèle, équilatéral ou quelconque — seule condition, les trois longueurs doivent effectivement pouvoir former un triangle (respecter l'inégalité triangulaire), sans quoi l'aire calculée par la formule de Héron n'existe pas réellement.