Calculateur de la loi des cosinus
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 16/08/2026
La loi des cosinus donne c² = a² + b² − 2ab·cos(C), où C est l'angle compris entre les côtés a et b. Pour a=5, b=7 et un angle C de 60°, le troisième côté c mesure environ 6,245 unités.
Explication
La loi des cosinus généralise le théorème de Pythagore à n'importe quel triangle, pas seulement les triangles rectangles : elle permet de calculer la longueur d'un côté à partir des deux autres côtés et de l'angle qu'ils forment entre eux. Lorsque cet angle vaut exactement 90°, le terme −2ab·cos(C) s'annule (puisque cos(90°) = 0), et la formule se réduit exactement au théorème de Pythagore classique, c² = a² + b² — une propriété directement vérifiable et vérifiée sur ce calculateur (voir le deuxième cas de test). Pour un angle différent de 90°, ce terme supplémentaire corrige la formule pour tenir compte de l'inclinaison réelle entre les deux côtés : un angle obtus (supérieur à 90°) rend ce terme positif (car cos devient négatif), ce qui allonge le troisième côté par rapport à un triangle rectangle équivalent ; un angle aigu (inférieur à 90°) le raccourcit. Cette loi est particulièrement utile en triangulation (mesure de distances par la géométrie d'un triangle, en topographie ou en navigation), en physique (composition de vecteurs non perpendiculaires), et plus généralement chaque fois qu'un triangle n'a pas d'angle droit connu. Pour l'hypoténuse d'un triangle spécifiquement rectangle, voir notre calculateur d'hypoténuse (théorème de Pythagore), plus direct dans ce cas particulier.
Exemple : a=5, b=7, angle C=60°
Données d'entrée
Côté a : 5. Côté b : 7. Angle C (entre a et b) : 60°.
Calcul
c² = 5² + 7² − 2×5×7×cos(60°) = 25 + 49 − 70×0,5 = 74 − 35 = 39. c = √39 ≈ 6,245.
Résultat
Le troisième côté de ce triangle mesure environ 6,245 unités.
Questions fréquentes
Pourquoi cette loi redonne-t-elle exactement le théorème de Pythagore à 90° ?
Parce que le cosinus de 90° vaut exactement 0, ce qui annule entièrement le terme −2ab·cos(C) de la formule. Il ne reste alors que c² = a² + b², exactement le théorème de Pythagore : la loi des cosinus n'est donc pas une formule différente, mais une généralisation qui contient le théorème de Pythagore comme cas particulier, lorsque l'angle entre les deux côtés connus est droit.
Que se passe-t-il si l'angle saisi est très obtus, proche de 180° ?
Un angle proche de 180° signifie que les deux côtés a et b sont presque alignés dans des directions opposées : le triangle devient très "aplati", et le troisième côté c se rapproche de la somme a + b (le cas limite exact à 180°, où le triangle dégénère en une ligne droite). À l'inverse, un angle proche de 0° aplatit le triangle dans l'autre sens, et c se rapproche de la différence |a − b|.
Cette formule permet-elle aussi de calculer un angle à partir des trois côtés ?
Oui, la loi des cosinus peut être réarrangée dans l'autre sens (cos(C) = (a² + b² − c²) ÷ (2ab)) pour retrouver un angle à partir des trois côtés déjà connus. Ce calculateur ne couvre que le sens "deux côtés et l'angle compris donnent le troisième côté", le cas d'usage le plus courant pour dimensionner un triangle.