Calculateur de loi de Poisson
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 15/08/2026
La loi de Poisson calcule la probabilité d'observer exactement k événements avec P(X=k) = λᵏ × e⁻λ ÷ k!, où λ est le nombre moyen d'événements attendus. Pour une moyenne de 3 événements, la probabilité d'en observer exactement 2 est d'environ 22,4 %.
Explication
La loi de Poisson modélise le nombre d'événements qui se produisent dans un intervalle fixe (de temps, de surface ou de volume), lorsque ces événements se produisent indépendamment les uns des autres à un rythme moyen connu (λ, lambda). Elle est particulièrement adaptée aux événements rares mais possibles : le nombre d'appels reçus par un standard téléphonique en une heure, le nombre de défauts de fabrication sur un lot de production, le nombre de clients arrivant dans une file d'attente sur une période donnée, ou le nombre de désintégrations radioactives détectées par un compteur Geiger. Contrairement à la loi binomiale (voir notre calculateur de loi binomiale), qui compte des succès sur un nombre fixe d'essais, la loi de Poisson ne nécessite pas de connaître un nombre total d'essais : elle ne demande que le taux moyen d'occurrence sur l'intervalle considéré. D'ailleurs, la loi de Poisson peut être vue comme un cas limite de la loi binomiale, quand le nombre d'essais devient très grand et la probabilité de succès de chacun très faible, tout en gardant un produit (n×p) constant égal à λ.
Exemple : une moyenne de 3 événements, probabilité d'en observer exactement 2
Données d'entrée
Moyenne attendue (λ) : 3. Occurrences recherchées (k) : 2.
Calcul
P(X=2) = 3² × e⁻³ ÷ 2! = 9 × 0,049787 ÷ 2 ≈ 0,22404, soit 22,404 %.
Résultat
La probabilité d'observer exactement 2 événements est d'environ 22,4 %.
Questions fréquentes
Quand utiliser la loi de Poisson plutôt que la loi binomiale ?
Utilisez la loi de Poisson quand vous connaissez un taux moyen d'occurrence sur un intervalle (par exemple, 3 appels par heure en moyenne), sans nombre d'essais discret identifiable. Utilisez la loi binomiale quand vous avez un nombre fixe d'essais indépendants, chacun avec une probabilité de succès connue (par exemple, 10 lancers de pièce).
D'où vient la constante e (environ 2,71828) dans cette formule ?
C'est la base des logarithmes naturels, une constante mathématique qui apparaît naturellement dans la dérivation de la loi de Poisson à partir de la loi binomiale, lorsque le nombre d'essais tend vers l'infini et la probabilité de succès de chacun vers zéro, tout en gardant leur produit constant.
Cette formule fonctionne-t-elle pour un λ très élevé ?
Mathématiquement oui, mais pour de grandes valeurs de λ, la loi de Poisson se rapproche d'une loi normale (courbe en cloche) centrée sur λ, ce qui rend son interprétation en termes d'événements rares moins pertinente. La loi de Poisson est surtout utile et intuitive pour des valeurs de λ modérées, typiquement inférieures à quelques dizaines.