Calculateur de loi uniforme
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 16/08/2026
Pour une variable uniforme sur [a, b], P(c < X < d) = (d − c) ÷ (b − a). Pour X uniforme sur [0, 10], la probabilité que X soit compris entre 2 et 6 est de 0,4 (40 %), pour une espérance de 5 et un écart-type d'environ 2,89.
Explication
La loi uniforme continue décrit une variable aléatoire dont toutes les valeurs d'un intervalle [a, b] sont également probables, sans qu'aucune zone de l'intervalle ne soit privilégiée — c'est la loi de probabilité continue la plus simple à comprendre, souvent utilisée comme premier exemple en statistiques, mais aussi comme modèle réaliste pour des phénomènes réellement équiprobables sur un intervalle (un générateur de nombres aléatoires, un temps d'arrivée réparti uniformément sur une plage horaire). La probabilité qu'une valeur tombe dans un sous-intervalle [c, d] se calcule simplement par un rapport de longueurs : (d − c), la longueur du sous-intervalle recherché, divisée par (b − a), la longueur totale de l'intervalle — plus le sous-intervalle est grand par rapport à l'intervalle total, plus la probabilité est élevée, sans dépendre de sa position. L'espérance (la valeur moyenne attendue) se situe toujours exactement au milieu de l'intervalle, (a + b) ÷ 2, par symétrie. L'écart-type, qui mesure la dispersion des valeurs, vaut (b − a) ÷ √12, une formule qui découle du calcul de variance de cette loi. La loi uniforme complète les autres lois de probabilité déjà couvertes sur ce site : notre calculateur de loi exponentielle pour un temps d'attente, ou notre calculateur de loi binomiale pour un nombre de succès sur des essais répétés — chacune adaptée à un type de phénomène aléatoire différent.
Exemple : X uniforme sur [0, 10], probabilité que X soit entre 2 et 6
Données d'entrée
Intervalle : [0, 10]. Sous-intervalle recherché : [2, 6].
Calcul
P(2 < X < 6) = (6 − 2) ÷ (10 − 0) = 4 ÷ 10 = 0,4. Espérance = (0 + 10) ÷ 2 = 5. Écart-type = (10 − 0) ÷ √12 ≈ 2,887.
Résultat
La probabilité que X soit compris entre 2 et 6 est de 40 %, pour une moyenne de 5.
Questions fréquentes
Pourquoi la probabilité ne dépend-elle que de la longueur du sous-intervalle, pas de sa position ?
Parce que c'est la définition même de la loi uniforme : chaque point de l'intervalle [a, b] a exactement la même densité de probabilité. Deux sous-intervalles de même longueur, où qu'ils se situent dans [a, b], ont donc toujours exactement la même probabilité — c'est cette propriété qui distingue la loi uniforme de la plupart des autres lois continues, comme la loi normale, où la probabilité dépend fortement de la position par rapport à la moyenne.
Que se passe-t-il si le sous-intervalle recherché dépasse les bornes a et b ?
Ce calculateur suppose que le sous-intervalle [c, d] est entièrement contenu dans [a, b]. Si une partie de [c, d] dépasse les bornes de l'intervalle total, la formule donnerait un résultat supérieur à 1 (une probabilité supérieure à 100 %, ce qui n'a pas de sens) : dans ce cas, il faut d'abord ramener c et d aux bornes réelles de l'intervalle avant de calculer.
Dans quels cas réels la loi uniforme s'applique-t-elle ?
Elle modélise bien les situations réellement équiprobables sur un intervalle continu : un point d'arrêt aléatoire d'une roue de loterie, l'heure exacte d'arrivée d'un bus supposée uniformément répartie sur son intervalle de passage prévu, ou encore le nombre généré par un générateur de nombres pseudo-aléatoires standard, conçu précisément pour suivre une loi uniforme sur [0, 1].