Calculateur du théorème de Bayes
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 16/08/2026
Le théorème de Bayes calcule P(A|B) = [P(B|A) × P(A)] ÷ P(B). Pour un test médical avec une prévalence de 1 %, une sensibilité de 90 % et une probabilité totale de résultat positif de 10 %, la probabilité d'être réellement malade sachant que le test est positif n'est que de 9 %.
Explication
Le théorème de Bayes permet de "retourner" une probabilité conditionnelle : à partir de P(B|A) (la probabilité de B si A est vrai) et de la probabilité initiale de A, il calcule P(A|B) (la probabilité de A sachant que B s'est produit). C'est l'un des résultats les plus contre-intuitifs des probabilités, notamment appliqué aux tests de dépistage médicaux : même un test très sensible (qui détecte correctement 90 % des cas réels) peut donner une probabilité de maladie réelle étonnamment basse après un résultat positif, si la maladie testée est rare dans la population. Dans l'exemple ci-dessus, malgré une sensibilité de 90 %, une personne testée positive n'a que 9 % de chances d'être réellement malade, parce que la maladie est rare (1 % de prévalence) et que les faux positifs, même peu nombreux en proportion, deviennent alors plus nombreux en valeur absolue que les vrais positifs. C'est ce qu'on appelle le paradoxe du faux positif, une illustration classique de l'importance de tenir compte de la probabilité de départ (P(A)) et pas seulement de la fiabilité apparente d'un test. P(B), la probabilité totale de l'événement B, doit intégrer à la fois les vrais positifs et les faux positifs (P(B) = P(B|A)×P(A) + P(B|non A)×P(non A)) ; ce calculateur demande cette valeur directement en entrée plutôt que de la recalculer, pour rester utilisable même quand P(B|non A) n'est pas connu séparément. Pour une probabilité simple à partir de cas favorables et possibles plutôt qu'une probabilité conditionnelle, voir notre calculateur de probabilité simple.
Exemple : prévalence 1 %, sensibilité 90 %, probabilité totale de positif 10 %
Données d'entrée
P(A) = 1 %. P(B|A) = 90 %. P(B) = 10 %.
Calcul
P(A|B) = (0,90 × 0,01) ÷ 0,10 = 0,009 ÷ 0,10 = 0,09, soit 9 %.
Résultat
Sachant le test positif, la probabilité d'être réellement malade n'est que de 9 %.
Questions fréquentes
Pourquoi la probabilité obtenue est-elle si différente de la sensibilité du test ?
Parce que la sensibilité (P(B|A) = 90 %) répond à une question différente : "si je suis malade, quelle est la probabilité que le test soit positif ?". Le théorème de Bayes répond à la question inverse, celle qui intéresse réellement le patient testé positif : "sachant que mon test est positif, quelle est la probabilité que je sois réellement malade ?". Ces deux probabilités ne sont égales que dans des cas particuliers, et l'écart est d'autant plus grand que la maladie est rare.
D'où vient la valeur de P(B), la probabilité totale de résultat positif ?
P(B) combine les vrais positifs et les faux positifs de tout le test : P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|non A) × P(non A), où P(B|non A) est le taux de faux positifs (1 moins la spécificité du test). Ce calculateur demande P(B) directement, déjà calculée, pour rester simple à utiliser même si vous ne connaissez que ce résultat global et pas le détail de la spécificité du test.
Ce théorème s'applique-t-il seulement aux tests médicaux ?
Non, c'est un résultat général des probabilités, utilisé bien au-delà du domaine médical : filtres anti-spam (probabilité qu'un message soit un spam sachant qu'il contient certains mots), diagnostic de panne, reconnaissance de forme, ou tout raisonnement qui met à jour une probabilité initiale à la lumière d'une nouvelle information observée.