Calculateur de produit mixte de trois vecteurs
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 19/08/2026
Le produit mixte (ou produit triple scalaire) de trois vecteurs a, b et c se calcule avec a · (b × c), et donne le volume signé du parallélépipède qu'ils forment. Pour les trois vecteurs de base (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1), qui forment un cube unité, le produit mixte vaut exactement 1.
Explication
Le produit mixte combine les deux opérations vectorielles fondamentales déjà présentes sur ce site : il s'agit du produit scalaire du premier vecteur avec le produit vectoriel des deux autres, a · (b × c). Géométriquement, sa valeur absolue donne exactement le volume du parallélépipède (une boîte aux faces parallèles deux à deux, mais pas nécessairement rectangulaires) formé par les trois vecteurs placés à partir d'une même origine — un résultat directement vérifiable sur une boîte orthogonale : les vecteurs (2,0,0), (0,3,0) et (0,0,4) donnent un produit mixte de 24, exactement le volume d'un pavé droit de dimensions 2×3×4. Le signe du résultat porte une information géométrique supplémentaire : un produit mixte positif indique que les trois vecteurs, pris dans cet ordre, forment un repère direct (orientation « main droite ») ; un résultat négatif indique un repère indirect. Un produit mixte exactement nul a une signification particulière et très utile en pratique : il indique que les trois vecteurs sont coplanaires (ils se trouvent tous dans un même plan), puisqu'aucun volume tridimensionnel ne peut alors être formé — c'est d'ailleurs le test le plus direct pour vérifier si trois vecteurs (ou trois points, une fois convertis en vecteurs) sont coplanaires.
Exemple : boîte orthogonale, vecteurs (2,0,0), (0,3,0), (0,0,4)
Données d'entrée
a = (2, 0, 0). b = (0, 3, 0). c = (0, 0, 4).
Calcul
b × c = (3×4−0×0, 0×0−0×4, 0×0−3×0) = (12, 0, 0). a · (b × c) = 2×12 + 0×0 + 0×0 = 24.
Résultat
Le produit mixte vaut 24, exactement le volume de la boîte 2×3×4 qu’ils délimitent.
Questions fréquentes
Que signifie un produit mixte nul ?
Un produit mixte nul signifie que les trois vecteurs sont coplanaires : ils se trouvent tous dans un même plan et ne peuvent donc pas former de volume tridimensionnel, comme dans le cas de test des vecteurs (1,0,0), (0,1,0) et (1,1,0), qui appartiennent tous au plan xy. C'est la méthode la plus directe pour tester algébriquement si trois vecteurs (ou trois points dans l'espace) sont coplanaires.
Que signifie un produit mixte négatif ?
Un résultat négatif n'est pas une erreur : il indique simplement que les trois vecteurs, pris dans l'ordre a, b, c, forment un repère indirect (orientation « main gauche ») plutôt que direct. Pour obtenir uniquement le volume du parallélépipède, sans tenir compte de cette orientation, ce calculateur affiche aussi la valeur absolue du produit mixte.
Comment ce calcul se relie-t-il au produit scalaire et au produit vectoriel déjà présents sur le site ?
Le produit mixte n'est rien d'autre que la combinaison des deux : on calcule d'abord le produit vectoriel de b et c (qui donne un nouveau vecteur, perpendiculaire au plan formé par b et c, et dont la norme est l'aire du parallélogramme qu'ils délimitent), puis le produit scalaire de ce résultat avec le vecteur a. C'est cette combinaison en deux étapes qui transforme une aire 2D en volume 3D.