Calculateur de produit scalaire de vecteurs
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 17/08/2026
Le produit scalaire de deux vecteurs (x₁,y₁) et (x₂,y₂) se calcule avec u·v = x₁×x₂ + y₁×y₂. Pour u=(3,4) et v=(4,−3), le produit scalaire est exactement nul, signe que les deux vecteurs sont perpendiculaires (angle de 90°).
Explication
Le produit scalaire (aussi appelé produit intérieur) associe à deux vecteurs un simple nombre, contrairement à d'autres opérations vectorielles qui renvoient un nouveau vecteur. Son signe et sa valeur renseignent directement sur l'orientation relative des deux vecteurs : un produit scalaire nul signifie que les deux vecteurs sont perpendiculaires (orthogonaux) l'un à l'autre, un produit scalaire positif indique un angle aigu entre eux (inférieur à 90°), et un produit scalaire négatif un angle obtus (supérieur à 90°). L'angle exact entre les deux vecteurs se retrouve en divisant le produit scalaire par le produit de leurs normes (leurs longueurs), puis en appliquant la fonction arc cosinus à ce résultat — cette division normalise le produit scalaire pour qu'il ne dépende plus que de l'orientation relative des vecteurs, pas de leur longueur individuelle. Le produit scalaire a de nombreuses applications concrètes : en physique, il sert à calculer le travail d'une force (le produit scalaire de la force et du déplacement, la loi des cosinus partageant d'ailleurs une parenté mathématique directe avec cette formule), et en géométrie, à tester rapidement si deux directions sont perpendiculaires sans avoir à mesurer un angle directement — un test utile, par exemple, pour vérifier qu'un triangle est bien rectangle avant d'appliquer notre calculateur d'hypoténuse (Pythagore).
Exemple : u=(3,4) et v=(4,−3)
Données d'entrée
Vecteur u : (3, 4). Vecteur v : (4, −3).
Calcul
u·v = 3×4 + 4×(−3) = 12 − 12 = 0. Un produit scalaire nul signifie que les deux vecteurs sont perpendiculaires, ce que confirme l'angle calculé : exactement 90°.
Résultat
Ces deux vecteurs sont perpendiculaires : leur produit scalaire est nul et l'angle entre eux vaut exactement 90°.
Questions fréquentes
Pourquoi un produit scalaire nul signifie-t-il que les vecteurs sont perpendiculaires ?
Parce que le produit scalaire est proportionnel au cosinus de l'angle entre les deux vecteurs (u·v = ‖u‖×‖v‖×cos(θ)), et que le cosinus d'un angle de 90° vaut exactement 0. Tant que les deux vecteurs ne sont pas nuls, la seule façon d'annuler ce produit est donc que l'angle entre eux soit précisément de 90°.
Ce calculateur fonctionne-t-il aussi pour des vecteurs en trois dimensions ?
Non, ce calculateur ne couvre que les vecteurs à deux dimensions (dans un plan). Le principe se généralise directement à trois dimensions en ajoutant une troisième composante z au produit scalaire (u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂) et à la norme, mais ce calculateur reste volontairement limité au cas 2D, le plus fréquent en usage courant et pédagogique.
Que se passe-t-il si l'un des deux vecteurs saisis est le vecteur nul (0, 0) ?
L'angle entre un vecteur nul et n'importe quel autre vecteur n'est mathématiquement pas défini, car un vecteur nul n'a pas de direction propre. Dans ce cas, le calcul de l'angle implique une division par une norme nulle, que le moteur du site traite comme une valeur non définie (affichée comme non disponible) plutôt que comme une erreur bloquante ou un chiffre inventé.