Calculateur de suite géométrique
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 17/08/2026
Le n-ième terme d'une suite géométrique se calcule avec uₙ = u₁ × r^(n−1), et la somme des n premiers termes avec Sₙ = u₁ × (r^n − 1) ÷ (r − 1). Pour u₁=3, r=2 et n=5, le 5ᵉ terme vaut 48 et la somme des 5 premiers termes vaut 93.
Explication
Une suite géométrique est une suite de nombres où chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par une valeur fixe, appelée la raison (r) — contrairement à notre calculateur de suite arithmétique, où chaque terme s'obtient en ajoutant une valeur fixe au précédent. Cette différence entre addition et multiplication change fondamentalement le comportement de la suite : une suite géométrique de raison supérieure à 1 croît de façon exponentielle (chaque terme grandit proportionnellement plus vite que le précédent), tandis qu'une raison comprise entre 0 et 1 fait au contraire décroître la suite vers zéro sans jamais l'atteindre. La somme des n premiers termes suit une formule fermée pratique, qui évite d'avoir à additionner terme par terme : elle repose sur le fait que multiplier toute la somme par la raison puis la soustraire à elle-même fait disparaître tous les termes intermédiaires, ne laissant que le premier et le dernier. Le cas particulier r = 1 (une suite constante, où chaque terme est identique au précédent) est traité séparément, car la formule générale diviserait alors par zéro : la somme se réduit dans ce cas simplement à n fois la valeur du premier terme. Les suites géométriques modélisent de nombreux phénomènes réels à croissance ou décroissance proportionnelle : intérêts composés (voir notre calculateur d'intérêts composés, où le capital suit exactement une progression géométrique de raison (1+taux)), désintégration radioactive, ou dilution en série en chimie.
Exemple : u₁=3, r=2, n=5
Données d'entrée
Premier terme : 3. Raison : 2. Rang : 5.
Calcul
u₅ = 3 × 2⁴ = 3 × 16 = 48. S₅ = 3 × (2⁵ − 1) ÷ (2 − 1) = 3 × 31 ÷ 1 = 93 (soit 3+6+12+24+48 = 93).
Résultat
Le 5ᵉ terme vaut 48, et la somme des 5 premiers termes vaut 93.
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si la raison est négative ?
Une raison négative fait alterner le signe des termes successifs (positif, négatif, positif...), tout en suivant la même formule uₙ = u₁ × r^(n−1). Par exemple, avec u₁=1 et r=−2, la suite donne 1, −2, 4, −8, 16 : la valeur absolue croît toujours de façon géométrique, mais le signe alterne à chaque terme.
Pourquoi la somme diverge-t-elle si |r| est supérieur à 1 et que n grandit ?
Quand |r| > 1, chaque terme est plus grand en valeur absolue que le précédent, donc la somme des termes croît sans limite à mesure que n augmente — elle n'a pas de valeur finie même si l'on somme une infinité de termes. À l'inverse, quand |r| < 1, chaque terme devient de plus en plus petit, et la somme de tous les termes (même une infinité) converge vers une valeur finie précise, égale à u₁ ÷ (1 − r).
Comment reconnaître qu'une suite de nombres est géométrique et non arithmétique ?
Dans une suite géométrique, le rapport entre deux termes consécutifs (terme suivant divisé par terme précédent) reste constant d'un terme à l'autre — c'est la raison r. Dans une suite arithmétique, c'est plutôt la différence entre deux termes consécutifs qui reste constante. Diviser plusieurs paires de termes consécutifs entre eux permet de vérifier rapidement lequel des deux modèles s'applique à une série de nombres donnée.