Calculateur de suite arithmétique
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 17/08/2026
Le n-ième terme d'une suite arithmétique se calcule avec premier terme + (n−1) × raison, et la somme des n premiers termes avec n × (2×premier terme + (n−1)×raison) ÷ 2. Pour un premier terme de 3 et une raison de 5, le 10ᵉ terme vaut 48, pour une somme de 255.
Explication
Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme s'obtient en ajoutant une valeur constante, appelée raison, au terme précédent : 3, 8, 13, 18, 23… est une suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 5, chaque terme dépassant le précédent de 5. Plutôt que d'additionner la raison terme après terme jusqu'au rang recherché, la formule directe uₙ = u₁ + (n−1) × r permet de calculer n'importe quel terme immédiatement, en multipliant simplement la raison par le nombre de "pas" qui séparent ce terme du premier (n−1 pas pour atteindre le n-ième terme). La somme des n premiers termes se calcule elle aussi directement, sans avoir à additionner chaque terme un par un, grâce à une astuce attribuée à Carl Friedrich Gauss : en associant le premier et le dernier terme, le deuxième et l'avant-dernier, et ainsi de suite, chaque paire donne exactement la même somme (2×u₁ + (n−1)×r), qu'il suffit de multiplier par le nombre de paires (n ÷ 2). Une raison négative donne une suite décroissante plutôt que croissante, comme dans le deuxième exemple ci-dessous ; une raison nulle donne une suite constante, où chaque terme est simplement égal au premier. Les suites arithmétiques modélisent de nombreuses situations concrètes à évolution linéaire constante : un remboursement à mensualités croissantes de façon régulière, une numérotation de sièges, ou plus généralement toute progression par paliers égaux.
Exemple : premier terme 3, raison 5, 10ᵉ terme
Données d'entrée
Premier terme (u₁) : 3. Raison (r) : 5. Rang recherché (n) : 10.
Calcul
u₁₀ = 3 + (10−1) × 5 = 3 + 45 = 48. Somme des 10 premiers termes = 10 × (2×3 + 9×5) ÷ 2 = 10 × (6+45) ÷ 2 = 10 × 51 ÷ 2 = 255.
Résultat
Le 10ᵉ terme de cette suite vaut 48, et la somme des 10 premiers termes vaut 255.
Questions fréquentes
Comment reconnaître qu'une suite de nombres est arithmétique ?
Une suite est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs reste toujours exactement la même tout au long de la suite. Pour vérifier, il suffit de soustraire chaque terme du suivant : si ce résultat est constant (la raison), la suite est arithmétique. Si cette différence varie, la suite n'est pas arithmétique (elle pourrait par exemple être géométrique, où c'est le rapport entre termes consécutifs qui reste constant, pas leur différence).
D'où vient la formule de la somme, attribuée à Gauss ?
Selon une anecdote célèbre, le mathématicien Carl Friedrich Gauss, enfant, aurait résolu très rapidement l'exercice consistant à additionner tous les nombres de 1 à 100 en remarquant qu'associer le premier et le dernier terme (1+100=101), puis le deuxième et l'avant-dernier (2+99=101), et ainsi de suite, donnait toujours la même somme par paire. En multipliant cette somme constante par le nombre de paires, il obtenait directement le résultat total sans avoir à tout additionner un par un — exactement le principe qui sous-tend la formule générale de la somme d'une suite arithmétique.
Cette formule fonctionne-t-elle aussi pour une raison qui n'est pas un nombre entier ?
Oui, la raison peut être n'importe quel nombre réel, entier ou non, positif, négatif ou nul. La formule reste valable dans tous les cas : une raison non entière donne simplement une suite dont les termes ne sont pas des entiers (sauf si le premier terme compense exactement), sans changer le principe du calcul.