Calculateur de la suite de Syracuse
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 30/08/2026
La suite de Syracuse applique n→n/2 si n est pair, n→3n+1 s'il est impair, jusqu'à atteindre 1. Pour n=27, l'exemple le plus cité de cette conjecture, il faut exactement 111 étapes, avec une valeur maximale de 9232 atteinte en cours de route — un exemple frappant vu la petitesse du nombre de départ.
Explication
La conjecture de Syracuse (ou conjecture de Collatz, du nom du mathématicien qui l'a formulée en 1937) énonce une règle d'une simplicité trompeuse : prenez un entier positif, divisez-le par 2 s'il est pair, ou multipliez-le par 3 et ajoutez 1 s'il est impair, puis répétez l'opération sur le résultat obtenu. La conjecture affirme que cette suite finit toujours par atteindre 1, quel que soit l'entier de départ choisi — un énoncé vérifié informatiquement pour toutes les valeurs de départ jusqu'à des grandeurs considérables, sans qu'aucun contre-exemple n'ait jamais été trouvé, mais qui reste à ce jour l'un des problèmes non résolus les plus célèbres de toutes les mathématiques, malgré son énoncé accessible dès le collège. Le nombre 27 est l'exemple le plus souvent cité pour illustrer à quel point le comportement de cette suite peut être imprévisible : en partant d'un nombre aussi modeste, la suite grimpe jusqu'à un pic de 9232 avant de redescendre, en un total de 111 étapes — une trajectoire chaotique qui contraste fortement avec la simplicité de la règle qui la génère. Ce calculateur complète directement notre calculateur de factorielle et notre calculateur de nombre premier, deux autres notions élémentaires de théorie des nombres et de mathématiques discrètes qui, comme la suite de Syracuse, se définissent en quelques mots mais recèlent une profondeur mathématique considérable. Par prudence face à une conjecture non démontrée, ce calculateur applique un plafond de sécurité au nombre d'étapes calculées : si un nombre de départ ne convergeait jamais vers 1 (ce qu'aucun exemple connu n'a jamais montré), le calcul s'arrêterait avec un message explicite plutôt que de tourner indéfiniment.
Exemple : la suite à partir de 6
Données d'entrée
Nombre de départ : 6.
Calcul
6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1, soit 8 étapes au total, avec un maximum atteint de 16 (au tout début de la suite, avant même le premier passage par un nombre impair).
Résultat
La suite de Syracuse démarrant à 6 atteint 1 en 8 étapes, sans jamais dépasser la valeur 16.
Questions fréquentes
Pourquoi la conjecture de Syracuse n’est-elle toujours pas démontrée ?
Parce que le comportement de la suite est extrêmement chaotique et imprévisible d'un nombre de départ à l'autre, sans structure algébrique simple qui permettrait une démonstration générale — deux nombres de départ très proches peuvent produire des trajectoires radicalement différentes en longueur et en amplitude. Les meilleurs outils mathématiques actuels permettent de vérifier informatiquement des milliards de cas particuliers, mais aucune méthode connue ne permet à ce jour de prouver l'énoncé pour TOUS les entiers positifs simultanément.
Existe-t-il un nombre de départ pour lequel la suite ne redescend jamais à 1 ?
Aucun n'a jamais été trouvé, malgré des vérifications informatiques exhaustives portant sur toutes les valeurs de départ jusqu'à des grandeurs de l'ordre de 2⁶⁸ et au-delà. Cela ne constitue pas une preuve mathématique (un contre-exemple pourrait en théorie exister au-delà des valeurs déjà testées), mais c'est un indice statistique très fort en faveur de la conjecture, qui reste activement étudiée par les mathématiciens.
Pourquoi le nombre d’étapes varie-t-il autant d’un nombre de départ à l’autre ?
Parce que la règle alterne entre deux opérations aux effets opposés (diviser par 2, qui réduit rapidement la valeur, et multiplier par 3 puis ajouter 1, qui l'augmente), et la fréquence à laquelle chaque opération s'applique dépend de façon complexe et imprévisible de la structure binaire du nombre de départ. C'est cette alternance sensible aux moindres détails qui rend le nombre d'étapes final si difficile à prédire sans dérouler la suite étape par étape, exactement ce que fait ce calculateur.