Calculateur de système de deux équations linéaires à deux inconnues
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 18/08/2026
Un système de deux équations linéaires à deux inconnues (a1x+b1y=c1 et a2x+b2y=c2) se résout avec la règle de Cramer : x = (c1b2−c2b1)/D et y = (a1c2−a2c1)/D, où D = a1b2−a2b1. Pour le système 2x+3y=13 et 4x−y=5, la solution est x=2, y=3.
Explication
La règle de Cramer résout un système de deux équations linéaires à deux inconnues à l’aide de déterminants, sans passer par les substitutions successives habituellement enseignées à l’école. Le déterminant principal D = a1b2 − a2b1 — calculé exactement comme dans notre calculateur de déterminant d’une matrice 2×2, appliqué ici à la matrice des coefficients (a1,b1;a2,b2) — joue un rôle central : il indique si le système possède une solution unique. Les deux inconnues s’obtiennent ensuite en remplaçant, tour à tour, la colonne correspondante de la matrice des coefficients par la colonne des seconds membres (c1,c2), puis en divisant le déterminant obtenu par le déterminant principal. Géométriquement, chaque équation représente une droite dans le plan (voir notre calculateur d’équation de droite à partir de deux points pour la relation inverse), et résoudre le système revient à trouver le point d’intersection de ces deux droites : un déterminant D non nul signifie que les deux droites ont des pentes différentes et se croisent en un point unique, tandis qu’un déterminant nul signifie qu’elles sont parallèles — auquel cas le système n’a soit aucune solution (droites parallèles distinctes), soit une infinité de solutions (droites confondues), deux cas que ce calculateur ne distingue pas davantage et signale simplement comme non résolubles de façon unique.
Exemple : système 2x+3y=13, 4x-y=5
Données d'entrée
Équation 1 : 2x + 3y = 13. Équation 2 : 4x − y = 5.
Calcul
D = 2×(−1) − 4×3 = −2 − 12 = −14. x = (13×(−1) − 5×3) ÷ (−14) = (−13−15) ÷ (−14) = −28 ÷ (−14) = 2. y = (2×5 − 4×13) ÷ (−14) = (10−52) ÷ (−14) = −42 ÷ (−14) = 3.
Résultat
La solution de ce système est x = 2 et y = 3.
Questions fréquentes
Que signifie un déterminant D égal à zéro ?
Cela signifie que le système n’a pas de solution unique : les deux droites représentées par les équations sont parallèles. Si elles sont strictement parallèles et distinctes, le système n’a aucune solution (les deux équations se contredisent). Si elles sont en réalité la même droite écrite différemment, le système a une infinité de solutions (toute paire (x,y) sur cette droite convient).
Pourquoi utiliser la règle de Cramer plutôt que la substitution ?
La règle de Cramer offre une formule directe, sans étape intermédiaire d’isolement d’une variable puis de remplacement dans l’autre équation : elle est particulièrement pratique à programmer ou à appliquer rapidement une fois les six coefficients identifiés, même si la méthode par substitution reste souvent plus intuitive à comprendre pour un premier apprentissage.
Cette méthode fonctionne-t-elle pour un système à trois inconnues ou plus ?
Oui, la règle de Cramer se généralise à un nombre quelconque d’équations et d’inconnues, à condition de calculer des déterminants de matrices plus grandes (3×3, 4×4, etc.), ce qui devient rapidement coûteux en calculs manuels. Ce calculateur se limite volontairement au cas à deux inconnues, le plus courant et le seul dont le déterminant 2×2 se calcule en une seule soustraction.