Calculateur de somme d’une série géométrique infinie
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 19/08/2026
La somme d'une série géométrique infinie convergente (avec −1 < r < 1) se calcule avec S = a ÷ (1 − r), où a est le premier terme et r la raison. Pour a = 1 et r = 0,5 (la série 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + ...), la somme vaut exactement 2.
Explication
Une série géométrique additionne indéfiniment les termes d'une suite géométrique — chaque terme étant obtenu en multipliant le précédent par une raison constante r. Ce qui semble paradoxal au premier abord (additionner un nombre infini de termes) donne pourtant un résultat fini et parfaitement défini, à condition que la raison reste strictement comprise entre −1 et 1 : chaque terme devient alors de plus en plus petit, si bien que la somme s'approche d'une valeur limite précise sans jamais la dépasser. Le cas a = 1, r = 0,5 est un exemple classique connu sous le nom de paradoxe de Zénon (ou paradoxe de la dichotomie) : parcourir la moitié d'une distance, puis la moitié de ce qui reste, puis encore la moitié, et ainsi de suite à l'infini, revient à parcourir exactement la distance totale malgré un nombre infini d'étapes — la somme 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + ... vaut exactement 2, pas l'infini. Si en revanche |r| ≥ 1, chaque terme reste de la même taille ou grandit indéfiniment, et la somme totale diverge (elle croît sans limite, ou oscille sans jamais se stabiliser) — c'est pourquoi ce calculateur borne la raison strictement entre −1 et 1. Ce comportement contraste nettement avec celui d'une suite arithmétique : une série arithmétique infinie (où chaque terme s'obtient en ADDITIONNANT une même valeur constante, plutôt qu'en multipliant par une raison) ne converge jamais vers une somme finie, quelle que soit cette valeur constante (sauf si elle est nulle) — seule la nature multiplicative de la suite géométrique, combinée à une raison de module inférieur à 1, permet cette convergence vers une somme finie.
Exemple : a = 1, r = 0,5 (le paradoxe de Zénon)
Données d'entrée
Premier terme : 1. Raison : 0,5.
Calcul
S = 1 ÷ (1 − 0,5) = 1 ÷ 0,5 = 2.
Résultat
La somme de cette série infinie (1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + ...) vaut exactement 2.
Questions fréquentes
Pourquoi la somme d’un nombre infini de termes peut-elle être finie ?
Parce que chaque terme devient de plus en plus petit quand |r| < 1 : les termes ajoutés deviennent rapidement négligeables, et la somme s'approche d'une limite précise sans jamais la dépasser, un peu comme s'approcher indéfiniment d'un mur sans jamais tout à fait le toucher, mais en s'en rapprochant d'une distance de plus en plus infime à chaque pas. C'est ce comportement de convergence, étudié rigoureusement en analyse mathématique, qui donne un sens précis à cette somme apparemment paradoxale.
Que se passe-t-il si |r| ≥ 1 ?
La série diverge : si r ≥ 1, chaque terme reste égal ou plus grand que le précédent, et la somme croît sans limite vers l'infini. Si r ≤ −1, les termes alternent de signe sans jamais diminuer en valeur absolue, et la somme oscille indéfiniment sans jamais se stabiliser vers une valeur précise. Dans les deux cas, il n'existe pas de somme finie, c'est pourquoi ce calculateur restreint la raison à l'intervalle ouvert entre −1 et 1.
Quelle est la différence avec la somme d’un nombre fini de termes ?
Notre calculateur de suite géométrique calcule la somme d'un nombre déterminé n de termes, une formule valable pour n'importe quelle raison (y compris |r| ≥ 1, puisque la somme reste toujours finie avec un nombre fini de termes). Ce calculateur-ci, en revanche, additionne une infinité de termes : c'est seulement dans ce cas infini que la condition |r| < 1 devient nécessaire pour obtenir un résultat fini.