Calculateur de décrément logarithmique
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 30/08/2026
Le décrément logarithmique se calcule par δ = ln(x1÷x2), où x1 et x2 sont les amplitudes de deux oscillations successives. Pour des amplitudes qui passent de 10 à 5 (perte de moitié à chaque oscillation), δ≈0,693, correspondant à un facteur d'amortissement ζ≈0,11 — un amortissement léger mais mesurable.
Explication
Un oscillateur mécanique réel, contrairement au modèle idéal d'un oscillateur masse-ressort parfaitement sans frottement, perd progressivement de l'énergie à cause des forces de frottement, de la résistance de l'air ou d'autres mécanismes de dissipation — ses oscillations s'amortissent donc au fil du temps, chaque amplitude successive étant plus petite que la précédente. Le décrément logarithmique δ mesure précisément ce taux de décroissance en comparant deux amplitudes consécutives : plus δ est élevé, plus l'oscillateur perd rapidement de l'énergie et plus il s'immobilise vite. À partir de ce décrément, on peut calculer le facteur d'amortissement ζ (damping ratio), une grandeur adimensionnelle standard en ingénierie qui classe le comportement du système : un ζ proche de 0 correspond à un système faiblement amorti qui oscille longtemps avant de s'arrêter, un ζ égal à 1 correspond à l'amortissement critique (le système revient à l'équilibre le plus rapidement possible sans jamais osciller), et un ζ supérieur à 1 correspond à un système sur-amorti qui revient à l'équilibre lentement, également sans osciller. Cette mesure est couramment utilisée en génie mécanique pour caractériser des amortisseurs de véhicules, des systèmes de suspension, ou tout dispositif mécanique où le comportement vibratoire doit être contrôlé plutôt que simplement subi.
Exemple : mesurer l’amortissement d’un système mécanique
Données d'entrée
Amplitude de la première oscillation x1 = 10 (unité arbitraire, ex. mm). Amplitude de l’oscillation suivante x2 = 5.
Calcul
δ = ln(10÷5) = ln(2) ≈ 0,6931. ζ = 0,6931 ÷ √(4π²+0,6931²) ≈ 0,6931 ÷ 6,3213 ≈ 0,1097.
Résultat
Ce système perd la moitié de son amplitude à chaque oscillation, ce qui correspond à un facteur d’amortissement d’environ 0,11 — un amortissement modéré, ni négligeable ni suffisant pour empêcher plusieurs oscillations visibles avant l’arrêt complet.
Questions fréquentes
Pourquoi utiliser un logarithme plutôt qu’un simple rapport d’amplitudes ?
Le logarithme transforme la décroissance exponentielle caractéristique d'un oscillateur amorti (chaque amplitude étant un multiple constant de la précédente) en une simple valeur ADDITIVE et constante d'une oscillation à l'autre : le décrément logarithmique reste rigoureusement identique quelle que soit la paire d'oscillations consécutives choisie pour le mesurer, ce qui n'est pas le cas du simple rapport x1/x2 en valeur absolue (qui, lui, reste constant en RATIO mais change en valeur numérique d'amplitude au fil du temps). C'est cette propriété qui rend le décrément logarithmique si pratique à mesurer expérimentalement, y compris sur des oscillations très éloignées dans le temps.
Que se passe-t-il si le facteur d’amortissement ζ dépasse 1 ?
Au-delà de ζ=1 (l'amortissement critique), le système devient « sur-amorti » : il ne oscille plus du tout, mais revient à sa position d'équilibre de plus en plus lentement à mesure que ζ augmente. Dans ce régime, la notion même de « décrément logarithmique entre deux oscillations » perd son sens, puisqu'il n'y a plus d'oscillations à proprement parler — ce calculateur s'applique donc au régime sous-amorti (ζ<1), où des oscillations mesurables existent encore.
Le décrément logarithmique dépend-il de la paire d’oscillations choisies pour le calcul ?
Non, c'est justement l'un des intérêts pratiques de cette grandeur : pour un système à amortissement visqueux linéaire (le cas le plus courant), le décrément logarithmique calculé entre la 1ʳᵉ et la 2ᵉ oscillation est rigoureusement identique à celui calculé entre la 10ᵉ et la 11ᵉ, par exemple. Cette propriété permet de mesurer δ à partir de n'importe quelle paire d'oscillations consécutives suffisamment nettes à observer, sans avoir besoin de remonter précisément à la toute première oscillation du système — une robustesse comparable à celle du facteur de qualité d'un circuit RLC déjà publié sur ce site, qui caractérise lui aussi l'amortissement d'un système oscillant, mais dans le domaine électrique plutôt que mécanique.