Calculateur de distance d’un point à une droite
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 18/08/2026
La distance d’un point (x0,y0) à une droite d’équation ax + by + c = 0 se calcule avec d = |a×x0 + b×y0 + c| ÷ √(a² + b²). Pour la droite 3x + 4y − 6 = 0 et le point (0,0), la distance vaut 1,2.
Explication
La distance d’un point à une droite désigne la longueur du plus court chemin entre les deux — un segment toujours perpendiculaire à la droite, jamais oblique. Cette formule directe évite d’avoir à construire géométriquement cette perpendiculaire : elle s’obtient en projetant, via un produit scalaire, le vecteur reliant un point quelconque de la droite au point étudié sur la direction perpendiculaire à la droite, donnée par le vecteur (a, b) dans l’équation générale ax + by + c = 0. La valeur absolue au numérateur garantit que la distance reste toujours positive, quel que soit le côté de la droite où se trouve le point, tandis que la division par √(a²+b²) normalise le résultat : sans cette division, le résultat dépendrait arbitrairement de l’échelle des coefficients a, b et c choisis pour écrire l’équation de la droite (une même droite peut s’écrire de multiples façons équivalentes, par exemple 3x+4y−6=0 ou 6x+8y−12=0). Cette équation générale ax+by+c=0 se déduit facilement de la forme réduite y=mx+b calculée par notre calculateur d’équation de droite à partir de deux points (il suffit de réécrire mx − y + b = 0, soit a=m, b=−1, c=l’ordonnée à l’origine) ; le résultat est aussi directement comparable à une distance entre deux points, puisqu’il s’agit dans les deux cas d’une distance euclidienne dans le plan, seule la référence (un autre point contre une droite entière) diffère.
Exemple : droite 3x+4y-6=0, point (0,0)
Données d'entrée
Équation de la droite : 3x + 4y − 6 = 0. Point : (0, 0).
Calcul
d = |3×0 + 4×0 − 6| ÷ √(3² + 4²) = |−6| ÷ √25 = 6 ÷ 5 = 1,2.
Résultat
La distance entre ce point et cette droite est de 1,2 (dans l’unité des coordonnées utilisées).
Questions fréquentes
Pourquoi le résultat est-il toujours positif ?
Parce que le numérateur de la formule utilise une valeur absolue : une distance n’a pas de sens négatif, quel que soit le côté de la droite où se situe le point. Le signe de l’expression a×x0+b×y0+c avant application de la valeur absolue indique en revanche de quel côté de la droite se trouve le point, une information parfois utile séparément mais qui n’est pas ce que ce calculateur affiche.
Comment obtenir a, b et c si je connais seulement l’équation y = mx + b sous forme réduite ?
Il suffit de tout regrouper d’un même côté de l’égalité : y = mx + b devient mx − y + b = 0, ce qui donne a = m, b = −1 (attention, ce « b » de l’équation générale n’est pas le même nombre que l’ordonnée à l’origine, malgré la même lettre) et c = l’ordonnée à l’origine de la forme réduite.
Que signifie une distance de zéro ?
Une distance nulle signifie que le point appartient exactement à la droite : ses coordonnées vérifient l’équation a×x0+b×y0+c=0, donc le numérateur de la formule s’annule complètement avant même la division.